Лобачевский Николай Иванович

Лобачевский Николай Иванович

20 ноября 1792 года - 12 февраля 1856 года

Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря (20 ноября) 1792 года в Нижнем Новгороде в бедной семье мелкого чиновника.

Девятилетним мальчиком он был привезен матерью в Казань и ее стараниями устроен вместе с двумя братьями в гимназию на казенное содержание, С этого времени его жизнь и работа протекают в Казани.

В гимназии, как мы знаем по "Воспоминаниям" С.Т.Аксакова, увлекательно преподавал математику талантливый учитель Г.И.Карташевский, воспитанник Московского университета. Он поставил изучение математики на значительную высоту. И когда юный 14-летний Лобачевский становится в феврале 1807 года студентом университета (тоже казеннокоштным), он уже вскоре проявляет особенную склонность к изучению физико-математических наук, обнаруживая выдающиеся способности. В этот, несомненно, сказались результаты педагогической деятельности Г.И.Карташевского.

Однако в университете Лобачевскому уже не удалось слушать лекции Карташевского, так как последний в декабре 1806 г. был отстранен от должности директором И.Ф.Яковкиным, как "проявивший дух неповиновения и несогласия". Математические курсы в университете стал вести М.Ф.Бартельс, прибывший в Казань в 1808 году.

Успехи студента Н.И.Лобачевского, соревнующегося в своих занятиях с И.П.Симоновым, впоследствии известным астрономом и участником кругосветного плавания, неизменно вызывали одобрение М.Ф.Бартельса и других профессоров.

3 августа 1811 г. Лобачевский утверждается магистром. Его руководитель профессор М.Ф.Бартельс был квалифицированным математиком и опытным преподавателем, но не вел творческой работы. Лобачевский изучил под его руководством классические труды по математики и механике: "Теорию чисел" (Disquisitiones Arithmeticae) Гаусса и первые томы "Небесной механики" Лапласа. Представив два научных исследования по механике и по алгебре ("Теория эллиптического движения небесных тел" (1812 г.) и "О разрешимости алгебраического уравнения x^n - 1 = 0" (1813 г.), он был ранее срока в 1814 г. произведен в адъюнкт-профессоры (доценты).

Со следующего года он ведет самостоятельное преподавание, постепенно расширяя круг читаемых им курсов и уже задумываясь над перестройкой начал математики. Еще через год он получает звание экстраординардого профессора.

Но вскоре в университете создается очень тяжелая обстановка для работы. В целях борьбы с революционными настроениями и "вольнодумством" правительство Александра I, проводя все более реакционную политику, ищет идеологической опоры в религии, в мистико-христианских учениях. Университеты в первую очередь подвергаются проверке.

Для обследования Казанского университета был назначен и прибыл в марте 1819 г. член Главного правления училищ М.Л.Магницкий, который использовал свое назначение в карьеристских целях. В своем отчете он приходит к выводу, что университет "причиняет общественный вред полуученностью образуемых им воспитанников ...", а поэтому "подлежит уничтожению в виде публичного его разрушения" ради назидательного примера для других правительств.

Однако университет не был уничтожен. Александр I решил его исправить. Попечителем Казанского учебного округа был назначен Магницкий, который и приступил к энергичному "обновлению университета". Он начал свою деятельность увольнением девяти профессоров. Была установлена тщательная слежка за содержанием лекций и студенческих записок и введен суровый казарменный режим для студентов.

Семь лет этой церковно-полицейской системы принесли Лобачевскому тяжелые испытания, но не сломили его непокорный дух. Выдержать этот гнет ему помогла только его обширная и многообразная педагогическая, административная и исследовательская деятельность. Он преподает математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (Тарту) Бартельса; замещает профессора К.Броннера, не вернувшегося после отпуска в Казань; читает физические курсы и заведует физическим кабинетом; замещает отправившегося в кругосветное плавание астронома И.П.Симонова; читает астрономию и геодезию, приняв в свое ведение обсерваторию. Ряд лет он работает деканом физико-математического отделения. Коллосальный труд вкладывает он в упорядочивание библиотеки и в расширение ее физико-математической части. Он является вместе с тем одним из активнейших членов, а затем и председателем строительного комитета, занятого постройкой главного университетского корпуса. Наконец, несмотря на тысячи текущих дел и обязанностей, Лобачевский не прекращает напряженной творческой деятельности. Он пишет два учебника для гимназий: "Геометрию" (1823 г.) и "Алгебру" (1825 г.). "Геометрия" получает отрицательный отзыв у академика Н.И.Фусса, не оценившего тех изменений, который Лобачевский внес в традиционное изложение, и осудившего введение метрической системы мер, поскольку она создана в революционной Франции. "Алгебра" из-за внутренних проволочек в университете тоже не была напечатана.

Вскоре начинаются столкновения с попечителем. Лобачевский, по словам Магницкого, проявляет дерзость, нарушение инструкций. Магницкий решает установить особенный надзор за его поступками.

Однако и в этих унижающих достоинство человека условиях мысль Лобачевского работает неустанно над строгим построением начал геометрии. Первые следы этой работы мы находим в студенческих записках его лекций по геометрии за 1817 г. Об ней же свидетельствует рукопись учебника "Геометрия" и его "Обозрения преподавания чистой математики" за 1822 - 1823 и 1824 - 1825 гг. Наконец, его искания завершаются гениальным открытием. Разрывая оковы тысячелетних традиций, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии. 23 (11) февраля 1826 г. он делает на факультете доклад о новой "Воображаемой геометрии". Этот доклад "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных" был передан на отзыв профессорам И.М.Симонову, А.Я.Купферу и адъюнкту Н.Д.Брашману. Лобачевский хотел знать мнение своих сотрудников об открытиии, величие которого он сознавал, и просил принять сво сочинение в предполагаемое издание "Уч ных Записок" отделения.

Но отзыва не последовало. Рукопись доклада до нас не дошла. Материал этого доклада был включен Лобачевским в его первое сочинение "О началах геометрии", вышедшее в 1829 - 1830 гг. в "Казанском вестнике".

Открытие Лобачевского было сделано им на путях принципиального критического пересмотра самых первых, начальных, геометрических понятий, принятых в геометрии еще со времен Евклида (3 век до н.э.). Это требование безусловной строгости и ясности в началах, это пристальное внимание к вопросам основ науки и углубленный анализ первоначальных понятий характерны вообще для творчества Лобачевского. Избранное им направление исследований способствовало тому, что он не только в геометрии, но и в ряде других областей математики превосходит достигнутый в то время уровень науки: так, им дано уточнение понятия функции, приписанное впоследствии Дирихле; он четко разграничивает непрерывность функции и ее дифференцируемость; им проведены глубокие исследования по тригонометрическим рядам, опередившие его эпоху на много десятилетий; им разработан метод численного решения уравнений, несправедливо получивший впоследствии название метода Греффе, тогда как Лобачевский и независимо от него бельгийский математик Данделен разработали этот метод значительно раньше.

Доклад Н.И.Лобачевского совпал по времени с падением Магницкого. Специальная ревизия выявила ряд злоупотреблений, и мракобес попечитель был смещен и выслан.

Новый попечитель Казанского учебного округа М.Н.Мусин-Пушкин сумел оценить кипучую деятельную натуру Н.И.Лобачевского. Великого геометра избирают вскоре, в 1827 г., ректором и 19 лет он самоотверженно трудится на этом посту, добиваясь расцвета Казанского университета.

Лобачевский стремился претворить в жизнь свою широкую передовую программу университетского образования, представление о которой дает его речь "О важнейших предметах воспитания", произнесенная им через год после назначения ректором.

Лобачевский добивается существенного повышения уровня научно-учебной работы на всех факультетах. Он проводит строительство целого комплекса университетских вспомогательных зданий: библиотеки, астрономической и магнитной обсерватории, анатомического театра, физического кабинета и химической лаборатории. Он пытается создать при университете "Общество наук", но не получает на это разрешения. Журнал смешанного содержания "Казанский вестник" он заменяет организованным им строгим научным журналом "Учеными записками Казанского университета", первая книжка которого выходит в 1834 г. и открывается предисловием Лобачевского, освещающим цели научного издания. В течение 8 лет он продолжает одновременно с ректорством управлять библиотекой. Он сам читает ряд специальных курсов для студентов. Он пишет наставление учителям математики и заботится о постановке преподавания также в училищах и гимназиях. Он принимает участие в поездке в Пензу в 1842 г. для наблюдения солнечного затмения. Умело оберегает он сотрудников и студентов университета во время эпидемии холеры в 1830 г., изолировав университетскую территорию и проводя тщательную дезинфекцию. Он организовал спасение астрономических инструментов и выноску книг из загоревшейся библиотеки во время громадного пожара Казани в 1842 г., причем ему удается отстоять от огня почти все университетские здания. Наконец, он организует чтение научно-популярных лекций для населения и открывает свободный доступ в библиотеку и музеи университета.

И вместе с тем он находит время для непрерывных и обширных научных исследований, посвященных, главным образом, развитию новой геометрии. Его идеи были настолько непривычны, губоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Его первая работа "О началах геометрии" (1829 - 1830 гг.) была представлена Советом университета в 1832 г. в Академию наук. Но даже академик М.В.Остроградский не понял ее значения и дал на нее отрицательный отзыв: "...Книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой ..., она небрежно изложена и ..., следовательно, она не заслуживает внимания Академии". А в 1834 г. в реакционном журнале Ф.Булгарина "Сын отечества" появился издевательский анонимный отзыв об этой работе. "Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего", - писал неизвестный рецензент, укрывшийся за двумя буквами С.С.

Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829 - 1830 гг. "О начала геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках":

в 1835 г. "Воображаемую геометрию"
в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам".

С 1835 по 1838 гг. он публикует свою наиболее обширную работу "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Наконец, в 1840 г. выходят на немецком языке "Геометрические исследования по теории параллельных", где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей.

Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии.

Замечательный венгерский математик Янош Больяи опубликовал на 3 года позже Лобачевского сво исследование "Аппендикс" - добавление к книге его отца. В этой работе он несколько с иной стороны подошел к тем же результатам, что и Лобачевский. Но не встретив одобрения и поддержки, он прекратил борьбу. Выдающийся немецкий математик Гаусс, как выяснилось из опубликованных посмертно его переписки, получил некоторые начальные соотношения новой геометрии, но, оберегая свой покой, а также, быть может, не будучи уверен в правильности и объективной значимости этих результатов, запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания об его взглядах. Восхищаясь в частной переписке с друзьями геометрическими работами Лобачевского он ни одним словом не высказался о них публично.

Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П.И.Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей.

Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства Николая I. В 1846 г. Лобачевский оказался фактически отстраненным от работы в университете. Внешне он получил повышение - был назначен помощником попечителя (однако жалованья ему за эту работу не назначили), но при этом он лишился кафедры и ректорства.

Следует отметить, что менее чем за год до этого он был утвержден в шестой раз ректором университета на очередное четырехлетие. Вместе с тем более года он управлял Казанским учебным округом, заменив М.Н. Мусина-Пушкина, переведенного в Петербург. Указывая на эти свои служебные обязанности, Лобачевский незадолго до неожиданного предписания Министерства рекомендовал вместо себя на кафедру математики учителя Казанской гимназии А.Ф.Попова, защитившего докторскую диссертацию. Он считал необходимым поощрить молодого способного ученого и находил несправедливым занимать при таких обстоятельствах кафедру. Но, лишившись кафедры и ректорства и оказавшись в должности помощника попечителя, Лобачевский потерял возможность не только руководить университетом, но и вообще действенно участвовать в жизни университета.

Насильственное отстранение от деятельности, которой он посвятил свою жизнь, ухудшение материального положения, а затем и семейное несчастье (в 1852 г. у него умер старший сын) разрушающе отразилось на его здоровье; он сильно одряхлел и стал слепнуть. Но и лишенный зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на торжественные собрания, присутствовал на ученых диспутах и не прекращал научных трудов.

Непонимание значения его новой геометрии, жестокая неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное несчастье и, наконец, слепота не сломили его мужественного духа. За год до смерти он закончил свой последний труд "Пангеометрия", диктуя его своим ученикам.

24 (12) февраля 1856 г. кончилась жизнь великого ученого, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.

Литература о Н.И. Лобачевском

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. - М.: Наука. 1992. - 229 с. (Научно-биографическая серия).
Норден А.П. 125 лет неевклидовой геометрии. - Успехи математических наук, 1951. - 6, вып. 3 (48). - С.3 - 9.
Норден А.П. Об изложении основных теорем геометрии Лобачевского. - В сб.: Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского. - М.-Л.: Гостехиздат. 1952. - С.117 - 128.
Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. - М.: Гостехиздат, 1953. - 248 с.
Норден А.П. Гаусс и Лобачевский. - Историко - математические исследования, 1956, вып. 9. - С.145 - 168.
Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. 1792 - 1856. - В сб.: Люди русской науки. Матем., мех., М., 1961. - С.76 - 93.
Лаптев Б.Л. Великий русский математик (к 175-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского). - Вестник высшей школы, 1967, 12. - С.62 - 70.
Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. - Казань, 1976. - 136 с.
Лаптев Б.Л. Коперник геометрии. - Наука и жизнь, 1976, N5. - С.38 - 42.
Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, е история и значение. - М.: Знание (В серии "Новое в жизни, науке и технике", N9). 1976. - 36 с.
Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. - М.: Просвещение, 1976. - 112 с.
Александров П.С. Николай Иванович Лобачевский. "Квант". 1976. N2.
Норден А.П. Великое открытие Лобачевского. "Квант". 1976. N2.
Лаптев Б.Л. Что читал Лобачевский? - Казань. Изд-во Казан. ун-та, 1979. - 126 с.
Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. - 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 80 с.
Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. - В кн.: Рассказы о казанских уч ных. - Казань: Таткнигоиздат, 1983. - С.5 - 19.
Н.И. Лобачевский. К 200-летию. (Авторы: Вишневский В.В., Писарева С.В.). - Казань. Изд-во Казан. ун-та, 1992.

Бюст Лобачевского в Нижегородском университете

Бюст Лобачевского в Казани

Н.И. Лобачевский и неевклидова геометрия

По определению Евклида параллельные линии - прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали.

Но уже древнейшие комментаторы Евклида Посидоний (II век до нашей эры), Геминус (I век до нашей эры), Птолемей (II век нашей эры) - не считали пятый постулатум Евклида имеющим ту же очевидность, как другие постулатумы и аксиомы Евклида, и пытались или вывести его, как следствие других положений, или заменить определение параллельных, данное Евклидом, другим определением.

Во второй половине XVII столетия Лейбниц также критически относился к основным положениям Евклида. Как известно, он хотел также построить чисто геометрической анализ, который непосредственно выражал бы свойства положения, подобно тому как алгебра выражает величину.

Но только в первой половине XVIII века приходит мысль применить к вопросу о параллельных линиях и систематически провести в теории параллельных линий тот метод доказательства от противного, которым так часто пользовались греческие математики.

Эта гениальная идея принадлежала Саккери. В сочинении, появившемся в год его смерти «Евклид, избавленный от всякого пятна», Саккери берет исходным пунктом четырехугольник, которого две противоположные стороны, перпендикулярные к основанию, равны между собой. В таком четырехугольнике углы, образуемые равными сторонами со стороною, противоположною основанию, равны, и доказательство этого свойства четырехугольника не зависит от постулатума Евклида. Если они прямые, то постулатум Евклида доказан, так как в этом случае сумма углов треугольника равна двум прямым. Но Саккери (и в этом состоит его оригинальная гениальная мысль) делает и две другие гипотезы - гипотезу острого и гипотезу тупого угла, выводит из этих гипотез вытекающие следствия и пытается доказать невозможность этих следствий, т.е. допустимость только одной гипотезы прямого угла. Ему легко удается доказать, что гипотеза тупого угла недопустима, так как приводит к противоречиям. Для того чтобы найти такое же противоречие в гипотезе острого угла, он выводит ряд замечательных теорем, которые потом были снова доказаны Лежандром. Таковы, например, теоремы, по которым если та или другая или третья гипотеза имеет место для одного четырехугольника, то она имеет место и для всякого другого.

Через три года после ее появления, в 1766 году, Ламберт ставит ту же задачу, что и Саккери. Вместо четырехугольника с двумя прямыми углами и двумя равными сторонами Ламберт рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами и делает три гипотезы относительно четвертого угла. Его изложение имеет некоторые особенности сравнительно с изложением Саккери: он избегает прибегать к соображениям, основанным на непрерывности. Из того, что в гипотезах тупого и острого угла не существует подобия фигур, Ламберт выводит заключение о существовании абсолютной меры.

В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по тому пути, по которому до него шли Саккери и Ламберт, - по пути планомерного вывода всех следствий гипотезы острого угла. Но его размышления привели к сомнению в возможности доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в невозможности такого доказательства.

Высказанное публично мнение Гаусса о недоказуемости аксиомы Евклида не имело влияния и даже подверглось грубым нападкам. Это было одной из причин, почему он решился не публиковать своих исследований и мыслей по вопросу об основаниях, «боясь крика беотийцев» (письмо к Бесселю от 27 января 1829 года). Но он не прервал своих исследований и с величайшим интересом и сочувствием приветствовал те работы и мысли, которые совпадали с его исследованиями и взглядами.
Как далеко он пошел по этому пути, показывает его письмо к Вольфгангу Болиаи от 6 марта 1832 года, в котором Гаусс говорит, что между 1797 и 1802 годами он нашел те результаты, к которым пришел Иоганн Болиаи. Например, чисто геометрическое доказательство теоремы, что в неевклидовой геометрии разность суммы углов треугольника от 180 градусов пропорциональна площади треугольника.

Вольфганг Болиаи, друг школьных лет Гаусса, проявлял большой интерес к теории параллельных линий. Этот необычайный интерес, по свидетельству его письма к сыну в 1820 году, отравил ему все радости жизни, сделал его мучеником стремления освободить геометрию от пятна, «удалить облако, затемняющее красоту девы-истины». Но в то время как усилия почти всей жизни отца были направлены к доказательству 5-го постулатума, и ему не удалось достигнуть цели, его талантливый сын явился одним из творцов неевклидовой геометрии.

Иоганн Болиаи родился в 1802 году в Клаузенбурге. Уже в 1807 году отец с восторгом и гордостью пишет Гауссу о необыкновенных математических способностях мальчика, который к тринадцати годам уже изучил планиметрию, стереометрию, тригонометрию, конические сечения, а в 14 лет уже решал с легкостью задачи дифференциального и интегрального исчисления. Вольфгангу не удалось послать сына учиться в Геттингене у «математического колосса», и в 1818 году Иоганн поступил в Венскую инженерную академию, где уделялось большое внимание высшей математике. В 1823 году он кончил курс в академии и, как военный инженер, был послан в крепость Теметвар.

Вполне естественно, что обладавший необыкновенными математическими способностями Иоганн еще почти мальчиком решил испытать свои силы на решении того вопроса, над которым мучился отец, но про который отец же говорил ему, что решивший его достоин алмаза величиною в земной шар. В 1820 году Иоганн сообщает отцу, что он уже нашел путь к доказательству аксиомы, и тогда-то отец пишет ему горячее письмо, предостерегающее его от занятия теориею параллельных линий.

В зимнюю ночь 1823 года он нашел то основное соотношение между длиною перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и углом, который составляет с этим перпендикуляром асимптота (параллельная линия Лобачевского), которое является ключом к неевклидовой тригонометрии. В восторге от своего открытия, которое, казалось ему, открывало путь к доказательству XI аксиомы, он пишет 3 ноября из Теметвара отцу: «Я создал новый, другой мир из ничего. Все, что посылал до сих пор, есть только карточный домик в сравнении с воздвигаемою теперь башнею».

В 1829 году Вольфганг закончил большое математическое сочинение, над которым трудился около двадцати лет. Как приложение к этой книге, было напечатано и бессмертное сочинение Иоганна Болиаи. Конечно, Болиаи не подозревали, что в это же самое время в далекой Казани Лобачевский печатал свою первую работу «О началах геометрии» (1829 год).

Если Иоганн Болиаи начал заниматься теорией параллельных линий под влиянием своего отца, то Лобачевский мог начать заниматься ею только потому, что интерес к этой теории особенно оживился в конце XVIII и начале XIX столетия.

В двадцатипятилетие, предшествующее появлению первой работы Лобачевского, не проходило и года, в который не появилось бы одно или несколько сочинений по теории параллельных линий. Известно до 30 сочинений, напечатанных только на немецком и французском языках с 1813 по 1827 год.

Работы Лежандра возбудили интерес к теории параллельных линий и в среде русских математиков. Первый академик из русских, заслуживший своими печатными трудами почетное место в истории русского математического преподавания, С.Е. Гурьев в наиболее важном из своих сочинений «Опыт о усовершении элементов геометрии», напечатанном в 1798 году, обратил особое внимание на теорию параллельных линий и на доказательства, данные Лежандром. Критикуя эти доказательства, Гурьев предлагает и свое собственное.

Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии. Поскольку ее существование было невозможно представить в реальном мире, ученый назвал ее «воображаемой геометрией». Но к этой мысли он, как и И. Болиаи, пришел не сразу.

Лекции 1815-1817 годов, учебник геометрии 1823 года и недошедшая до нас «Exposition succincte des principes de 1a geometric», прочтенная в заседании физико-математического отделения 12 февраля 1826 года, - таковы три этапа мысли Лобачевского в области теории параллельных линий. В лекциях он дает три различных способа для ее обоснования; в учебнике 1823 года он заявляет, что все до сих пор данные доказательства не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими, и, наконец, через три года он дает уже ту систему построения геометрии на положении, отличном от постулатума Евклида, которая обессмертила его имя.

«Exposition» не дошло до нас. Первое печатное сочинение Лобачевского, которое он называет извлечением из «Exposition», печаталось в «Казанском вестнике» в 1829-1830 годах. Эта дата устанавливает приоритет опубликования открытия Лобачевского сравнительно с И. Болиаи, так как «Appendix» последнего был напечатан в 1831 году, а вышел из печати только в 1832 году. Как показывает заглавие «Exposition», оно имело своим предметом не только точную теорию параллельных линий, но посвящено было вместе с тем вопросу о началах геометрии.

Хотя и И. Болиаи, и Лобачевский за это открытие были избраны членами Ганноверской академии наук, права гражданства получила в Западной Европе именно геометрия Лобачевского.

В 1837 году труды Лобачевского печатаются на французском языке. В 1840 году он издал на немецком языке свою теорию параллельных, заслужившую признание великого Гаусса. В России же Лобачевский не видел оценки своих научных трудов.

Очевидно, исследования Лобачевского находились за пределами понимания его современников. Одни игнорировали его, другие встречали его труды грубыми насмешками и даже бранью. В то время как наш другой высокоталантливый математик Остроградский пользовался заслуженной известностью, никто не знал Лобачевского; к нему и сам Остроградский относился то насмешливо, то враждебно.

Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманом. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида.

Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского.

Естественно возникает вопрос, где же находится такое пространство. Ответ на него был дан крупнейшим физиком XX века Альбертом Эйнштейном. Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, он создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства.

В соответствии с этой теорией любая материальная масса искривляет окружающее ее пространство. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.